Прогиб балки: допустимый прогиб по СП 20, формулы и пример расчёта

Зачем ограничивают прогиб

Балка может не сломаться, но провисать так, что это видно глазу, трескается отделка и перекашиваются двери. Поэтому СП 20.13330.2016 ограничивает прогиб по трём требованиям: • эстетико-психологическим — провисание не должно быть заметно (табл. Д.1); • конструктивным — перекрытие не должно ложиться на перегородки под ним (прил. Л); • физиологическим — пол не должен ощутимо колебаться под шагами (п. Д.2.2).

Для частного дома чаще всего решают первое и третье.

Допустимый прогиб по СП 20

Предел для балок перекрытий и покрытий, открытых для обзора, — табл. Д.1, поз. 2а (ред. Изм. № 3) — зависит от пролёта: чем длиннее балка, тем строже относительный предел. Между точками таблицы предельный прогиб интерполируют по пролёту: при 4 м — 20 + (30 − 20) × (4 − 3) ÷ 3 = 23,3 мм.

Прогиб для этой проверки считают не от полной нагрузки, а от постоянной, длительной и 35 % полезной. У консоли пролётом считают удвоенный вылет: консоль 1,5 м проверяют как балку пролётом 3 м — предел 20 мм.

Формулы прогиба

Для упругой балки постоянного сечения, q — равномерная нагрузка, P — сосредоточенная сила, l — пролёт, E — модуль упругости, I — момент инерции сечения: • на двух опорах: f = 5ql⁴/(384EI); сила в середине — f = Pl³/(48EI); • консоль: f = ql⁴/(8EI); сила на конце — f = Pl³/(3EI); • защемлена с двух концов: f = ql⁴/(384EI) — впятеро меньше, чем на опорах; сила в середине — Pl³/(192EI).

Момент инерции прямоугольного сечения — I = bh³/12: доска 50×200 на ребре в 16 раз жёстче, чем плашмя. У прокатного двутавра I берут из сортамента: двутавр 20 по ГОСТ 8239-89 — 1 840 см⁴, двутавр 24 — 3 460 см⁴.

Модуль упругости: сталь и дерево

У стального проката E = 206 000 МПа (СП 16.13330.2017, табл. Б.1). У древесины средний модуль — 10 000 МПа, но под длительной нагрузкой её прогиб растёт: по п. 6.10 СП 64.13330.2017 модуль для такой нагрузки умножают на 0,75 — 7 500 МПа. Кроме того, у деревянной балки к прогибу добавляют сдвиг — множитель 1 + 19,2 × (h/l)² по табл. Е.4 СП 64.

Поэтому деревянная балка в расчёте прогибается заметно больше, чем по формуле из справочника по сопротивлению материалов с полным модулем.

Пример расчёта: двутавр на пролёте 6 м

Нагрузка 1 000 кг/м плюс вес двутавра 20 — 21 кг/м: q = 1 021 × 9,81 ÷ 1 000 = 10,02 кН/м. • Жёсткость: E × I = 206 000 МПа × 1 840 см⁴ = 3 790 кН·м². • Прогиб: f = 5 × 10,02 × 6⁴ ÷ (384 × 3 790) = 0,0446 м = 44,6 мм. • Предел при 6 м — l/200 = 30 мм: двутавр 20 не проходит, двутавр 22 тоже (32,3 мм).

Двутавр 24: I = 3 460 см⁴, f = 23,9 мм, напряжение от нагрузки × 1,3 — 204 МПа при расчётном сопротивлении стали С245 235 МПа: проходит.

Пример расчёта: деревянная балка 4 м

Доска 50×200 из сосны, пролёт 4 м, нагрузка 150 кг/м — жилое перекрытие около 250 кг/м² при шаге 0,6 м: • q = (150 + 5) × 9,81 ÷ 1 000 = 1,52 кН/м; • E × I = 7 500 МПа × 3 333 см⁴ = 250 кН·м²; • f = 5 × 1,52 × 4⁴ ÷ (384 × 250) × 1,05 = 21,2 мм при пределе 23,3 мм — 91 %.

Доска 50×250 прогнётся на 11,2 мм — вдвое меньше: момент инерции растёт с кубом высоты. Но для перекрытия жилой комнаты прогиба мало — нужна ещё проверка на зыбкость, её считает калькулятор балок перекрытия.

Как уменьшить прогиб

• Увеличить высоту сечения: прогиб обратно пропорционален h³ — при высоте больше на четверть он падает почти вдвое.
• Уменьшить пролёт: прогиб растёт с l⁴, поэтому промежуточная опора посередине уменьшает его в 16 раз.
• Спарить балки — две доски бок о бок вдвое жёстче одной.
• Защемить концы — только если заделка действительно жёсткая: балка, просто опёртая на стену, работает как на двух опорах.

Прогиб любой балки — деревянной, двутавра или профильной трубы — считает калькулятор прогиба балки.

Допустимый прогиб балок перекрытий по табл. Д.1 СП 20

Что сделать дальше

1. 01 · ПосчитатьПроверить свой расчётПрогиб балки: подставьте размеры объекта — получите объёмы и список материалов.
2. 02 · СпроектироватьСпроектировать в конструктореКонструктор перекрытий: балки, плиты, пирог, 3D, смета
3. 03 · Весь домСпланировать весь домПланировщик дома: фундамент, стены, перекрытия и кровля — слоями одного дома, смета на дом одна.

Частые вопросы